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Mathematik-FAQ - häufig gestellte Fragen






Einleitung

Bei der Mathematik-Nachhilfe, beim gelegentlichen Nachdenken über Mathematik oder in Gesprächen tauchen manche Fragen immer wieder mal auf. Diese Seite soll dazu beitragen, solche Fragen zu beantworten.
Falls Sie weitere Anregungen zu dieser Seite oder für einzelne Fragen bessere Erklärungen haben, bin ich an einem E-Mail interessiert.




Warum ist 1 + 1 = 2?

Das ergibt sich aus dem, wie unsere Mathematik vereinbart bzw. festgelegt ist. Solche Festlegungen werden als "Axiome" oder "Axiom-System" bezeichnet. Für unsere Mathematik gelten u. a. die Peano-Axiome.
Sicherlich wäre auch eine andere Art Mathematik denkbar, aber wir benutzen inzwischen halt weltweit "unsere Art" von Mathematik.
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Warum wird das Ergebnis größer, wenn man durch eine Zahl teilt, die kleiner als 1 ist?

Wenn man eine Zahl durch 2, 3 oder andere Zahlen teilt, wird das Ergebnis kleiner. Dies ist leicht zu verstehen. Beispiele:
12 Gummibärchen werden an 3 Kinder verteilt → Jedes Kind erhält 4 Gummibärchen.
12 Liter Flüssigkeit werden in 3-Liter-Gefäße umgefüllt → Es sind 4 Gefäße nötig.

Wie erklärt man aber anschaulich(!) eine Division durch eine Zahl kleiner 1, also durch 1/2, 1/3, 0,5 usw.? Warum wird das Ergebnis bei einer solchen Division größer?
Hier kann das Beispiel mit den Gefäßen helfen:
12 Liter Flüssigkeit werden in 1/2-Liter-Gefäße umgefüllt → Jetzt sind 24 Gefäße nötig.
Dieses Beispiel funktioniert auch, wenn z. B. 3/4 Liter in 1/8-Gläschen, also 0,75 Liter in 0,125 er Gläser umgefüllt werden sollen.

Haben Sie noch andere gut verständliche Beispiele für das Teilen durch Zahlen, die kleiner als Eins sind?
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Wie rechnet man Einheiten um?

In Mathematik, Physik und Chemie müssen oft physikalische und andere Einheiten umgerechnet werden. Wie das sicher funktioniert wird in meiner Seite Einheiten umrechnen erklärt.
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Wie rechnet man vom Brutto zum Netto um?

Das ist in meiner Seite KlickTipps.de/excel-tipps.php erklärt. Zusätzlich gibt es dort Excel-Beispiele.
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Was bewirken die Parameter a, b und c bei einer Parabel ax2 + bx + c?

Zunächst die beiden einfacheren Parameter:
Das a entscheidet über die Form der Parabel.
Das c verschiebt die Parabel nach oben (wenn c positiv) oder nach unten. Das ist ähnlich, wie man es schon von den Geraden kennt.

Aber was genau tut das b?
Zeichnen Sie mal bei y=c eine waagerechte Linie in das Koordinatensystem: Die Parabel verläuft duch den Schnittpunkt dieser Linie mit der Y-Achse.
Für a=1 liegt der zweite Schnittpunkt von Parabel und der Linie y=c bei -b,
für a=0 gibt es keinen zweiten Schnittpunkt von Parabel und y=c,
für sonstige a≠1 liegt der zweite Schnittpunkt bei -b/a die Linie y=c.

Da der Scheitelpunkt mittig zwischen diesen Schnittpunkten sitzt, wird er mit -b/(2a) seitlich verschoben.
Seinen Y-Wert kann man durch Einsetzen in die Parabel-Funktionsvorschrift ermitteln: c-b2/(4a).

Zusätzlich kann man an b ablesen, welche Steigung die Parabel dort hat, wo sie die Y-Achse schneidet.
Und bx + c ist die Tangente an die Parabel in diesem Schnittpunkt.

Ein schönes Java-Applet zum selbst-Experimentieren mit a, b und c gibt es bei www.spasslernen.de.
Was man außerdem spätestens hier beobachten kann:
Bei sich änderndem b bewegt sich der Parabel-Scheitelpunkt selbst auf einer Parabel: y=-ax2 + c
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Wie kann man den Scheitelpunkt einer Parabel mit einfachen Mitteln berechnen?

Wenn man Nachhilfe gibt, steht man gelegentlich vor dem Problem, dass der Nachhilfeschüler eine quadratische Gleichung lösen soll, aber (weil bisher nicht im Lehrplan) noch nie etwas von "qudratischer Ergänzung", "p-q-Formel" oder anderen Methoden gehört hat.

Möglichkeiten:
1. Wenn die Gleichung die Form x2+bx=0 oder ax2+bx=0 hat, oder in diese Form gebracht werden kann, kann sie in x*(x+b)=0 bzw. x*(ax+b)=0 umgeformt werden. Der Nachhilfeschüler erkennt rasch, für welche x die beiden Faktoren Null werden.
2. Im Fall ax2+bx+c=0 lässt sich damit argumentieren, dass sich nichts zur Seite verschiebt, wenn man die Konstante c entfernt. Danach lässt sich das Problem wie eben beschrieben lösen.

Zum eigenen Weiterdenken: Die Gleichung ax2+bx+c=0 kann man auch als ax2 = -bx-c und somit als Schnittpunkte der Parabel ax2 und der Geraden -bx-c sehen. Hier könnte man eine zeichnerische Lösung versuchen: Schnittpunkte von Parabel und Gerade.
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Wie verschiebt man Funktionen seitlich?

Dass man Funktionen nach unten bzw. oben verschiebt, indem man eine Konstante zum gesamten Term addiert bzw. abzieht, ist meist bekannt oder kann rasch erklärt bzw. gezeigt werden.
Aber wie verschiebt man eine Funktion seitlich, z. B. um 2 nach links? Antwort: In dem man zu jedem(!) x, das in der Formel steht, 2 addiert.
Beispiele: Nach rechts wird verschoben, in dem man von jedem x einen konstanten Wert abzieht.

Einen Nachhilfeschüler fordert man - um Fehler zu vermeiden - auf, zunächst um jedes x eine Klammer (oder einen Kreis) zu ziehen und dann den Verschiebungswert in jeder Klammer einzugeben.

Aber wie erklärt man dem Nachhilfeschüler, dass "plus" nach links verschiebt und "minus" nach rechts? Der umgekehrte Fall wirkt für die meisten Menschen zunächst einsichtiger.
Erklärungsversuch: Mit steigendem x bewegt sich eine Funktion f(x) nach oben oder unten. Wenn das x etwas größer gemacht würde, würde das Steigen und Fallen "früher"/"eher"/"schneller", also weiter links beginnen. Positive Werte sorgen also für eine Linksverschiebung. Mit negativen Werten findet das Steigen und fallen "später" statt = Rechtsverschiebung.
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Wie zeichnet man Funktionen mit Excel?

Mit den Liniendiagrammen in Excel lassen sich Funktionen recht gut zeichnen. Diese Möglichkeit ist nicht nur bei Schülern und Studenten sehr beliebt.

Man erstellt dazu eine Wertetabelle (X-Werte z. B. in Spalte A, Y-Werte in Spalte B), gibt den Spalten die Überschriften X und Y oder X und f(x), markiert die Tabelle und macht ein Liniendiagramm draus.

Wenn die von Punkt zu Punkt führende Linie (für Parabeln und andere Funktionen) zu eckig ist, kann man die Linie im Diagramm anklicken, und im Fenster "Datenreihen formatieren" das 'Linie glätten' aktivieren.
In OpenOffice Calc kann man bei der Auswahl des Diagrammtyps für Liniendiagramme die Kurvenglättung aktivieren.

In in der Seite excel-tipps.php ist erklärt, wie man im Excel Zellen mit Null oder leere Zellen in Liniendiagrammen ausblenden kann.
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Kann man die Bahnlänge einer Kurve berechnen?

In der Mathematik zeichnet man Funktionen aller Art - aber wie lange ist eigentlich die gezeichnete Kurve selbst? Die Idee zur Lösung besteht darin, dass man die Kurve in kleine Stücke zerlegt, deren Länge mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermittelt und aufaddiert. Je kleiner diese Stücke sind, desto genauer das Ergebnis.
Wer sich schon eine Weile mit Mathematik beschäftigt hat, ahnt jetzt, dass das Aufaddieren von immer kleineren Stücken etwas mit einem Grenzwert oder einem Integral zu tun haben dürfte.
Eine gute Erklärung dazu gibt es bei www.mathematik-online.de.
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Wurzeln aus negativen Zahlen?

"Das geht nicht!" lernen wir in der Schule bis mindestens zur elften Klasse; und die meisten Bundesbürger würden das auch weiterhin überzeugt so behaupten. Aber geht das wirklich nicht?

Was erhalten wir für (-2)*(-2)*(-2)?
(-2)³ = -8
Die dritte Wurzel aus -8 ist also lösbar. Mit etwas Überlegen und Probieren merken wir bald, dass aus negativen Zahlen "ungerade" Wurzeln (=Wurzeln mit ungeradem Exponenten) gezogen werden können.

Was aber ist mit "geraden" Wurzeln, also z. B. der Wurzel aus -1 oder aus -2?
Im 17. Jahrhundert kam die Idee auf, eine imaginäre Einheit "i" zu nennen und ihr die Eigenschaft zu geben, dass i²=-1 ist. Somit ist dann Wurzel(-1) = i.
Außerdem gilt auch: Wurzel(-1) = -i

Wurzel(-2) ergibt dann = Wurzel(2)*Wurzel(-1) = Wurzel(2)*i
und Wurzel(-2) = Wurzel(2)*(-i)

Umgekehrt könnte man überlegen, was (1+i)*(1-i) oder (x+i)*(x-i) ergibt:
(x+i)*(x-i) = x² - i² (3. binomische Formel)
= x - (-1) = x² + 1
Hmm, dann könnte man ja auch x² + 1 = 0 umformen in (x+i)*(x-i) = 0 und wir hätten damit -i und +i als Lösung für eine quadratische Gleichung, die in der Schule als "unlösbar" gilt.
Auch für x² + 2x + 2 = 0 lassen sich nun 2 Lösungen finden: -1+i und -1-i. Ebenso für jede andere quadratische Gleichung.

Wenn man dann noch die imaginären Einheiten senkrecht zum bisher bekannten Zahlenstrahl anordnet, spannt man damit eine Ebene auf, und es entsteht eine ganz neue mathematische Welt (Gaußsche Zahlenebene).
Mehr: Wikipedia: Komplexe_Zahl

Für diejenigen, die es ganz vollständig möchten:
Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es für die dritte Wurzel aus (-8) noch zwei weitere Lösungen: 1 + Wurzel(3)*i und 1 - Wurzel(3)*i
und Wurzel(i) = (1+i)/Wurzel(2) und = (-1-i)/Wurzel(2)
Jede n-te Wurzel hat n Lösungen. In der Gaußschen Zahlenebene bilden sie ein n-Eck um den Koordinatenursprung.

In der Elektrotechnik benutzt man übrigens statt des i ein j, damit es nicht zu Verwechslungen mit dem i als Formelzeichen für den elektrischen Strom kommt.
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