Einheiten in Physik, Mathematik und Chemie umwandeln bzw. umrechnen und mit Einheiten rechnen

• Einleitung
• Einfache Beispiele
• Einheiten in Sachaufgaben
• Wichtige Fakten, die man auswendig lernen sollte
• Zahlen und Einheiten in (Word-)Texten
• Lernen, Verstehen, Üben

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Einleitung

Schülern und auch angehenden Studenten fällt es immer wieder schwer, Einheiten schnell und sicher umzuformen bzw. umzurechnen. Manches ist einfach mit Lernen erledigt und muss nur hingeschrieben werden, z. B. 1 dm³ = 1 Liter.
Beim Umrechnen von m/s in km/h wird es dann allerdings schon schwieriger.

Sich für jede möglich Umrechnung ein "Kochrezept" wie 1 m/s = 3,6 km/h zu merken, kann nicht der richtige Weg sein: Die Stofffülle ist zu groß und wegen der Verwechslungsmöglichkeiten zu unsicher. Die Einheiten wegzulassen und erst am Schluss der Rechnung ans Ergebnis zu 'kleben', ist bei Schülern zwar beliebt, aber auch eine sehr unsichere Methode und bringt den Anwender um die Möglichkeit, feststellen zu können, dass seine Rechnung zumindest schon mal aus Sicht der Einheiten nicht sehr falsch sein kann.

Diese Seite soll ausgehend von einfachen zu schwierigeren Beispielen eine Methode vermitteln, wie man unterschiedlichste Einheiten - sofern physikalisch oder sachlich sinnvoll - sicher in einander umrechnen kann.

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Einfache Beispiele

Nehmen wir an, eine Strecke s von 5 km soll in Meter umgerechnet werden.
Es ist sicherlich nicht verboten, diesen Wert mit 1 oder 1/1 zu multiplizieren. Auch ein Bruch mit x/x hatden Wert 1 und ist unproblematisch:

1 x s = 5 km * 1 = 5 km * ——— = 5 km * ——— 1 x

Die Multiplikation mit x/x ist natürlich recht sinnlos, wir nehmen stattdessen 1000 m / 1 km. Auch das ergibt 1 und ist unproblematisch.
In Brüchen kann man Zahlen gegeneinander kürzen; genauso kann man aber auch Einheiten gegeneinander kürzen. In diesem Fall können die "km" gekürzt werden. Es bleibt ein Ergebnis mit "m" übrig:

1000 m 1000 m s = 5 km * ———————— = 5 * —————— = 5 * 1000 m =5000 m 1 km 1

Neues Beispiel: 5500 mm² in cm² umrechnen.
Der Wert wird dafür mit 1 cm² / 100 mm² multipliziert. Auch dieser Bruch hat den Wert 1.

1 cm² 1 cm² s = 5500 mm² * ————————— = 5500 * —————— = 55 cm² 100 mm² 100

Die mm² können gekürzt werden, es bleiben cm² übrig.

Jetzt sollen 5 m/s in km/h umgerechnet werden. Dabei sollen m gegen km und s gegen h ausgetauscht werden. Dazu wird das Ganze mit 1 km / 1000 m und mit 360 s / 1h multipliziert. Danch können die m und die s sowie einige Nullen gekürzt werden:

m m 1 km 3600 s 36 km km km v = 5 ——— = 5 * ——— * ———————— * ———————— = 5 * ——————— = 5 * 3,6 ———— = 18 ———— s s 1000 m 1 h 10 h h h

Die Beispiele lassen sich beliebig fortsetzen. Wenn sie eins dringend vermissen, können Sie mir ja ein Mail dazu schreiben.

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Einheiten in Sachaufgaben

In Sachaufgaben lassen Schüler gerne die Eineiten weg. Dabei zeigen Einheiten an, dass das Ergebnis in die richtige Richtung geht.

Aufgabe 1
Ein Rechteck mit der Fläche von 0,25 m² hat eine Seite (a) mit 20 cm Länge, wie lang ist die andere Seite (b)?
zunächst müssen die m² in cm² umgerechnet werden.

0,25 m² 0,25 m² 100 cm 0,25 m² * 5 b = ————————— = ————————— * ———————— = ————————————— = 1,25 m 20 cm 20 cm 1 m 1 m

Ganz von selbst entsteht die Längeneinheit Meter.


Aufgabe 2
Ein Springbrunnen sprüht 10 m hoch. Wie schnell ist das Wasser unten an der Austrittsdüse?

m * g * h = 0,5 * m * v² (Potentielle Energie = kinetische Energie) g * h = 0,5 * v² 2 * g * h = v² v = Wurzel( 2 * g * h) mit g = 9,81 m/s² m m² m v = Wurzel(2 * 9,81 ——— ) * 10 m = Wurzel(2 * 9,81 * 10 ———) = 14,007 ——— s² s² s

Dabei wird auch aus den Einheiten wie aus den Zahlen die Wurzel gezogen, und es ergibt sie wie erhofft eine Geschwindigkeit: Wurzel(m²/s²) = m/s. Sie kann dann (siehe oben) auch z. B. in km/h umgerechnet werden.
Die Vorgehensweise hierbei war:

• Passende Formel(n) auswählen, kombinieren, umrechnen und vereinfachen,
• erst dann Werte mit Einheiten einsetzen,
• Einheiten und Zahlen kürzen;
• falls noch nötig, Ergebnis im Kopf oder mit Taschenrechner berechnen.

Aufgabe 3
Welche Wellenlänge haben Wellen mit Frequenz f = 94,4 MHz (Hessischer Rundfunk) im Vakuum?
Wellenlänge = Ausbreitungsgeschwindigkeit/Frequenz

1 1 m 1 Hz = 1 ——— MHz = 10⁶ —— c = 3*10⁸ —— (Lichtgeschwindigkeit) s s s c 3*10⁸ m s 300 m λ = ——— = ————————— * ————————— = ——————— = 3,18 m f s 94,4*10⁶ 94,4

Aufgabe 4
Für ein Spielzeugauto gibt es einen Looping mit d = 30 cm Durchmesser. Vor dem Looping ist eine Rampe, auf dem das Autochen mit 50 g Masse Anlauf nehmen kann.
In welcher Höhe h muss das Auto mindestens starten, damit es im Looping nicht herunterfällt?
Reibung, und Rotationsenergie, die in Rädern und dem Auto als Ganzes steckt, werden außer Acht gelassen. Ebenso der Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Autos und seiner Fahrbahn.

m * g * (h-d) = 0,5 * m * v² (Potentielle Energie am Start = kinetische Energie oben im Looping) g * (h-d) = 0,5 * v² h-d = 0,5 * v² / g h = (0,5 * v² / g) + d F_Z = F_G (oben im Looping: Zentrifugalkraft = Gewichtskraft) m * v² / r = m * g v² = g * r Das wird in die obere Gleichung eingesetzt. (Feststellung am Rande: Die Masse des Autos spielt hier gar keine Rolle.) h = 0,5 * r + d h = 0,5 * r + 2 * r h = 2,5 * r = 2,5 * 30 cm = 75 cm

Das (h-d) in der ersten Formael ist der eigentliche Gag der Aufgabe. Zwischen Start und Loopinggipfel liegt halt nur diese Höhendifferenz und damit diese potentielle Energie vor.
Ein Ansatz m * g * d = m * g * d + 0,5 * m * v², der die Anfangsenergie in die Bewegugsenergie oben im Looping und die dortige potentielle Energie aufteilt, ist auch richtig und führt nach Umformung zu gleichen Formel.
Wenn man erst nach Umformen und Vereinfachen der Terme die konkreten Werte einsetzt, bleibt manchmal fast nichts zum Rechnen übrig. - That's the beauty of physics.

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Wichtige Fakten, die man auswendig lernen sollte

Die hier vorgestellte Methode ist wirklich sehr sicher. Böser Sruch dazu: "Es geht auch im Halbschlaf oder im Suff." Man muss für dieses Verfahren wenig lernen, aber man sollte es gut üben.

Ein paar Fakten zu Einheiten sollten Sie aber dennoch auswendig wissen:
  1 dm³ = 1 Liter
  1 cm³ = 1 Milliliter

  g = 9,81 m/s²   (Erdbeschleunigung)

  1 N = 1 kg*m/s²   (wichtig für die Mechanik)
  1 N*m = 1 VAs = 1 J   (wichtig für die Elektromechanik)

"Wenn sie die letzten beiden Fakten und das Ohmsche Gesetz behalten, können Sie sich den Rest der gesamten Elektromechanik damit herleiten.", behauptete der Darmstäter Professor Bader gelegentlich. Klingt recht übertrieben, hat aber was Wahres.

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Zahlen und Einheiten in (Word-)Texten

Wenn Sie Zahlen mit Einheiten auf einem Computer schreiben, beachten Sie bitte, dass nach DIN 5008 bei allen Einheiten ein Leerzeichen (Blank) zwischen Zahl und Einheit stehen soll.
Ausnahmen: Winkel-Grade, -Minuten und -Sekunden (49°58'22" Nord) sowie Potenzen und Indices (10³, H₂SO₄)
Links:
www.din5008.de → Größenangaben und Formeln
www.KlickTipps.de/excel-tipps.php (Zellen mit Einheiten formatieren)

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Lernen, Verstehen, Üben

Die genannten Punkte zu lernen zu verstehen und gut zu üben, kann in einem Monat erledigt werden.
Damit man nicht weiter vom 'Club der Frustrierten' abgelenkt wird, sollte man sich im Ungterricht unbedingt in die erste oder zweite Reihe versetzen lassen!

Soweit meine Empfehlungen. Wenn Sie Ihnen Erfolg bringen, wären wir für eine kleine E-Mail-Rückmeldung dankbar. Zusätzliche Ideen werden auch gerne angenommen.

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